APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL BIASA ORDER SATU PADA ILMU BIOLOGI UNTUK MENGHITUNG JUMLAH BAKTERI

Jika y fungsi bernilai positif dalam t, dan k suatu konstanta persamaan differensial dy/dt=ky ………….(1) menyatakan bahwa laju perubahan y sebanding dengan besarnya y pada sebarang waktu t. Persamaan (1) adalah persamaan differensial terpisahkan dan dapat ditulis :
∫dy/y= ∫k dt
Ln y = kt + c
y=e^(kt+c)
y= e^kt e^c atau y= 〖Ae〗^kt …………………(2)
Dimana A=e^c konstanta sebarang. Nilai konstanta k dalam persamaan (2) tergantung pada sifat masalah. Jika k bernilai positif maka persamaan (2) disebut hikum pertumbuhan eksponensial. Jika k bernilai negative maka persamaan (2) disebut hokum peluruhan eksponensial.
Soal :
Jumlah bakteri dalam suatu kultur adalah 10.000, setelah dua jam menjadi 40.000. di bawah persyaratan perkembangan yang ideal, menjadi berapa jumlah bakteri setelah lima jam?
Jawab:
Di bawah persyaratan yang menguntungkan laju perkembangan bakteri dalam suatu kultur sebanding dengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika y banyaknya bakteri dalam kultur pada waktu t maka laju perkembangannya adalah: dy/dt=ky ………………(1)
Dengan k factor pembanding, dengan mengintegralkan persamaan (1)
dy/y=k dt
∫1/y dy= ∫k dt

ln y = kt + C ………………………………(2)
pada saat awal t = 0 jumlah bakteri 10.000 (y = 10.000) sehingga dengan memasukkan nilai tersebut ke persamaan (2);
ln 10.000 = k(0) + C
memasukkan C ke persamaan (2) menjadi:
ln y = kt + ln 10.000
untuk t = 2 jam y = 40.000
ln y 40.000 = 2k + ln 10.000
k = 1/2 [ln 40.000 – ln 10.000]
= 1/2 [ ln⁡40.000/ln⁡10.000 ] = 1/2 ln 4 = ln 4^(1/2)
= ln √4 = ln 2
Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi:
ln y = t ln 2 + ln 10.000
untuk t = 5 jam y = ….?
ln y = 5 ln 2 + ln 10.000
ln y = ln 25 (10.000)
y = 320.000
jadi setelah lima jam jumlah bakteri menjadi 320.000

Related Post