Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa Pada Fungsi Logistik

Matematika adalah sebuah mata pelajaran yang menarik, karena di dalam matematika kita diajak untuk berpikir kritis dan belajar untuk menggunakan logika kita semaksimal mungkin. Namun tidak semua orang khususnya siswa beranggapan demikian, beberapa siswa beranggapan bahwa matematika itu rumit apalagi jika sudah memasuki integral serta sebagian besar tidak digunakan dalam kehidupan sehari - hari. Hal ini didasari karena kurangnya pengetahuan mereka tentang aplikasi dari rumus – rumus dan ilmu yang mereka dapatkan dari matematika. Aplikasi – aplikasi dalam matematika diterapkan pada Persamaan Diferensial 1.

Hal ini dapat diaplikasikan pada perhitungan jumlah populasi pada suatu daerah dalam jangka waktu tertentu dengan menggunakan persamaan fungsi logistik. Oleh karena itu, kami akan mencoba membahas tentang aplikasi rumus – rumus matematika dalam perhinga populasi suatu daerah.

Pada tahun 1798 T.R Malthus mengamati bahwa penduduk Eropa akan menjadi dua kali lipat pada selang waktu yang teratur, dan dia berkesimpulan bahwa laju pertambahan populasi berbanding lurus dengan penduduk yang ada. Misalkan N(t) menunjukkan jumlah yang ada pada setiap saat t. Jika k adalah konstanta perbandingan, maka fungsi fungsi N = N(t) memenuhi persamaan differensial orde 1.

Sedangkan bila k berubah-ubah tergantung dari N, maka dapat diganti dengan suatu fungsi misalnya h(N), dipilih h(N) = r-aN, maka model pertumbuhan diatas berubah menjadi,

dimana P= r/a. Persamaan diatas merupakan Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde satu non linier dan disebut sebagai persamaan logistik 

Solusi equilibrium dari persamaan logistik adalah N(t) = 0 (tak menarik) dan N(t) = P. Solusi equilibrium N(t) = P dikatakan stabil asimptotik, karena setiap solusi yang semula dekat dengan N(t) = P akan menuju nilai P dengan bertambahnya waktu. Sedangkan solusi equilibrium N(t) = 0 dikatakan tak stabil, karena setiap solusi yang semula dekat dengan N(t) = 0 akan semakin menjauhi 0 dengan bertambahnya waktu. Perhatikan bahwa jika saat awal jumlah populasi N(0) < P maka jumlah populasi akan bertambah terus dan asimtotis ke nilai P. Sedangkan jika N(0) > P maka jumlah populasi akan terus berkurang dan asimtotis ke nilai P. Nilai P dikenal dengan nama daya dukung lingkungan.

Related Post