APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL TENTANG PELURUHAN

Pada dasarnya matematika adalah pelajaran yang menarik yang membutuhkan kreatifitas untuk memecahkan persoalan yang ada. Sehingga siswa diajak untuk berpikir kritis dan mampu menggunakan logika mereka dengan baik. Ada beberapa siswa yang beranggapan bahwa matematika itu pelajaran yang menarik dan mudah dimengerti karena mereka tidak hanya suka tetapi juga memiliki pengetahuan tentang aplikasi dari rumus – rumus dan ilmu yang mereka dapatkan dari matematika tetapi ada beberapa yang beranggapan bahwa matematika itu pelajaran yang sulit karena kurangnya pengetahuan mereka tentang aplikasi rumus – rumus dan ilmu yang mereka dapatkan dari matematika. Oleh sebab itu, beberapa aplikasi dalam matematika diterapkan pada Persamaan Diferensial 1.

Hal ini dapat diaplikasikan pada peluruhan pada radioaktif jangka waktu tertentu dengan menggunakan persamaan fungsi peluruhan. 

Peluruhan radioaktif adalah kumpulan beragam proses di mana sebuah inti atom yang tidak stabil memancarkan partikel subatomik (partikel radiasi). Peluruhan terjadi pada sebuah nukleus induk dan menghasilkan sebuah nukleus anak. Ini adalah sebuah proses acak sehingga sulit untuk memprediksi peluruhan sebuah atom.

Satuan internasional (SI) untuk pengukuran peluruhan radioaktif adalah becquerel (Bq). Jika sebuah material radioaktif menghasilkan 1 buah kejadian peluruhan tiap 1 detik, maka dikatakan material tersebut mempunyai aktivitas 1 Bq. Karena biasanya sebuah sampel material radiaktif mengandung banyak atom,1 becquerel akan tampak sebagai tingkat aktivitas yang rendah; satuan yang biasa digunakan adalah dalam orde gigabecquerels.

Laju peluruhan, atau aktivitas, dari material radioaktif ditentukan oleh:

1.      Konstanta:

·         Waktu paruh - simbol t_{1 / 2} - waktu yang diperlukan sebuah material radioaktif untuk meluruh menjadi setengah bagian dari sebelumnya.

·         Rerata waktu hidup - simbol τ - rerata waktu hidup (umur hidup) sebuah material radioaktif.

·         Konstanta peluruhan - simbol λ - konstanta peluruhan berbanding terbalik dengan waktu hidup (umur hidup).

(Perlu dicatat meskipun konstanta, mereka terkait dengan perilaku yang secara statistik acak, dan prediksi menggunakan kontanta ini menjadi berkurang keakuratannya untuk material dalam jumlah kecil. Tetapi, peluruhan radioaktif yang digunakan dalam teknik penanggalan sangat handal. Teknik ini merupakan salah satu pertaruhan yang aman dalam ilmu pengetahuan.

2.      Variabel:

·         Aktivitas total - simbol A - jumlah peluruhan tiap detik.

·         Aktivitas khusus - simbol S_A - jumlah peluruhan tiap detik per jumlah substansi. "Jumlah substansi" dapat berupa satuan massa atau volume.)

Half-life (waktu paruh) adalah periode waktu yang diperlukan suatu zat untuk meluruh menjadi separuh. Nama ini pada awalnya dipakai untuk karakteristik atom yang tidak stabil (radioaktif) namun dapat juga dipakai untuk kuantitas apapun yang mengikuti peluruhan berderet, seperti  pertumbuhan bakteri.

Pertumbuhan dan peluruhan

Jika N menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t, maka perubahan (bertambah = pertumbuhan atau berkurang = peluruhan) yang disimbolkan berbanding lurus dengan kuantitas N, dengan kata lain

dN/dt = rN pertumbuhan dan dN/dt = - rN pertumbuhan 

Peluruhan Radioaktif

Zat radioaktif meluruh dengan memancarkan radiasi secara spontan. Jika N_t  adalah massa zat yang tersisa pada saat t, N₀ adalah massa awal zat, maka laju peluruhan relative terhadap massanya bernilai konstan, yaitu

(dN/dt)/N= -r peluruhan

r= konstanta

Oleh karena itu laju perubahan massa zat m terhadap waktu t dapat dinyatakan dengan

Persamaan diferensial ini dapat dituliskan pula sebagai :

 

ln N= -r t + C

Pada saat awal (t = 0) massa zat adalah N₀, sehingga ln N₀ =C. Jika disubstitusikan pada hasil pengintegralan diperoleh

ln N= -rt + C

ln N= -rt + ln N₀

 =

N_t = N₀ e^-rt

 

Kuantitas subyek yang mengalami peluruhan eksponensial biasanya diberi  lambang N. Nilai N pada waktu t ditentukan dengan rumus

N_t = N₀ e^-rt

 

Ketika t=0, eksponensialnya setara dengan 1, sedangkan N(t) setara dengan N₀. Ketika t mendekati tak terbatas, eksponensialnya mendekati nol. Secara khusus, terdapat waktu t_1/2 sehingga

N(t_1/2)=N₀

Mengganti rumus di atas, akan didapatkan:
 

e^-rt(1/2)=1/2

-r t_1/2 = ln ½ = - ln 2

t_1/2  = ln2/-r

Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa Pada Fungsi Logistik

Matematika adalah sebuah mata pelajaran yang menarik, karena di dalam matematika kita diajak untuk berpikir kritis dan belajar untuk menggunakan logika kita semaksimal mungkin. Namun tidak semua orang khususnya siswa beranggapan demikian, beberapa siswa beranggapan bahwa matematika itu rumit apalagi jika sudah memasuki integral serta sebagian besar tidak digunakan dalam kehidupan sehari - hari. Hal ini didasari karena kurangnya pengetahuan mereka tentang aplikasi dari rumus – rumus dan ilmu yang mereka dapatkan dari matematika. Aplikasi – aplikasi dalam matematika diterapkan pada Persamaan Diferensial 1.

Hal ini dapat diaplikasikan pada perhitungan jumlah populasi pada suatu daerah dalam jangka waktu tertentu dengan menggunakan persamaan fungsi logistik. Oleh karena itu, kami akan mencoba membahas tentang aplikasi rumus – rumus matematika dalam perhinga populasi suatu daerah.

Pada tahun 1798 T.R Malthus mengamati bahwa penduduk Eropa akan menjadi dua kali lipat pada selang waktu yang teratur, dan dia berkesimpulan bahwa laju pertambahan populasi berbanding lurus dengan penduduk yang ada. Misalkan N(t) menunjukkan jumlah yang ada pada setiap saat t. Jika k adalah konstanta perbandingan, maka fungsi fungsi N = N(t) memenuhi persamaan differensial orde 1.

Sedangkan bila k berubah-ubah tergantung dari N, maka dapat diganti dengan suatu fungsi misalnya h(N), dipilih h(N) = r-aN, maka model pertumbuhan diatas berubah menjadi,

dimana P= r/a. Persamaan diatas merupakan Persamaan Differensial Biasa (PDB) orde satu non linier dan disebut sebagai persamaan logistik 

Solusi equilibrium dari persamaan logistik adalah N(t) = 0 (tak menarik) dan N(t) = P. Solusi equilibrium N(t) = P dikatakan stabil asimptotik, karena setiap solusi yang semula dekat dengan N(t) = P akan menuju nilai P dengan bertambahnya waktu. Sedangkan solusi equilibrium N(t) = 0 dikatakan tak stabil, karena setiap solusi yang semula dekat dengan N(t) = 0 akan semakin menjauhi 0 dengan bertambahnya waktu. Perhatikan bahwa jika saat awal jumlah populasi N(0) < P maka jumlah populasi akan bertambah terus dan asimtotis ke nilai P. Sedangkan jika N(0) > P maka jumlah populasi akan terus berkurang dan asimtotis ke nilai P. Nilai P dikenal dengan nama daya dukung lingkungan.